メルカトル図法の世界地図を思い浮かべて下さい．
東京からニューヨークへの飛行機の航路をその地図上に 表すと，直線にはなりません．上に凸の曲線になります． 地球（球面）の上でまっすぐなはずの 線 が，地図（平面）上では まっすぐに表わされない，という現象です.

そこで問題です：　それは なぜ でしょうか？　　答：地球が丸いから.
それはそうでしょうね．では

• なぜ 地球が丸いと曲線になる のでしょう．
  
• なぜ 下に でなく 上に 凸 なのでしょう．
  
• その曲線は 正確（理想的）には どういう曲線なのでしょう．
  
• 実際，地図（平面）上のどういう計算によって，実物（曲面上の曲線）の長さが計算することができるでしょうか？　
  
• そもそも「まっすぐ」とはどういうことか？

  曲面上の上のような計算をどのように扱えば良いか，先人の作ってきた理論とアイデアを紹介します．

地図は，曲面上（実物）の点と 平面上の点 とを連続的に１対１に対応させますが, それだけでは情報が足りないのです. 曲面を, 単に点の集まりとして考えるのではなく 計量 というものを 合わせて考えることが解決の１つとなります.