作成：山田裕一　

作成：山田裕一

作成：山田裕一

作成：山田裕一

 (1) 教科書よりわかりやすい説明をしたいとき.
 (2) 教科書の方法や記号が "普通でない" とき.
 (3) 教科書とは別の方法・考え方があることを知ってほしいとき.
 (4) 教科書に載っていない "補足" を伝えたいとき.
 (5) 黒板が小さくて困るとき.
 (6) 用語の定義ばかりが続くとき.
 (7) 省略したくない何かがあって時間が足りないとき.
 (8) １つのテーマが教科書の数か所に分かれているとき. （そのことを予め最初に予告する）
 (9) やりがいのある，勉強になる練習問題を作ったとき.

1. 数学で用いる基礎的な記号

（数学全般）　Up↑

全ての山田の講義で 初回に配っています．
黒板 や ノート を楽にするための記号です. より多くの時間を「数学そのものの考察」に使ってほしい.

　例：「任意の実数 x に対して, それより大きな自然数 n が存在する. 」 　 　を　「∀x ∈ R, ∃n ∈ N s.t. n > x.」

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2. 写像に関する数学用語

（数学全般）　Up↑

一般に, 集合 X の任意の元（要素）x に対応して 集合 Y の元 f(x) が１つ定められているとき,

　f : X →Y　　と書いて　 X から Y への写像 f

と言います. Y が数の集合（R など）のときは 関数 と呼ばれることもあります. 数学のいろいろな場面で写像の概念が登場しますので, 基本的な用語や記号がいくつか用意され整備されています.
　○ 高校数学で学ぶ　y = x²　や　f(x) = x²　のような書き方は 一種の省略形 "f の全情報の一部だけ書いたもの" と言えます.
　○ 例えば f(-2)=4 であること（f が 元 -2 を 4 に写すということ）を　f: -2 → 4　とは書きません.
　　 元の対応には違う形の矢印を使います. 記号の整備によって, 誤解を減らすことができます.

１年生の数学だけでも, 少なくとも次の箇所で 写像の概念 に遭遇すると思います.
　　微分積分学： 逆関数, 合成関数の微分（１変数, 多変数）
　　線形代数学： 線形写像, 像と核, 写像の合成
１年の間に何回か登場するのだったら, 始めにまとめて理解しておいて 登場するたびに復習する方が, 効率が良いと思います.
その意味で, このプリントは１年間の数学の中から写像に関係する部分を集めた　予告編　と言えます.

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3. 極座標変換

（微分積分学第２）　Up↑

極座標変換は，微分積分学第二の中で，何回かに散らばって登場します： 合成関数, その微分（ヤコビ行列式）, 重積分の変数変換, ... ですので　 始めにまとめて理解しておいて 登場するたびに復習する方が半年間の学び方として理解しやすいと思います.

極座標変換（平面, 空間とも）は 他の分野でも頻繁に遭遇すると思います. ところが, 数学以外の 場面では単に公式を使うだけかも知れません. 公式集に載っているから, と暗記もせず, 暗記するための工夫も考えない. それだと理解の深さが減ってしまいます. このチャンスに, 数学としてのその公式（特に，その意味すること. 感覚）を考察し, 一度だけでいいから自分で計算して証明して, それによってカンを掴むことが必要だと思います.

極座標にまつわる公式を計算で確認するのは結構大変です. 一時的に長い長い式になって（予測や思考力が足りないと，ここで不安になる．） 　sin ² + cos ² =1 　による キャンセルで綺麗にまとまっていくものです.

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4. マクローリン展開

（１変数：微分積分学第１，多変数：微分積分学第２）　 Up↑

１変数の場合 黒板が狭いため, アイデアを説明する と 計算例が書けない. そこで, プリントを作りました.
多変数の場合 教科書 と 演習書とで 記述が違う ことから、 学生の方々が混乱しないためにプリントを作りました.
さらに, 教科書に関して一言説明を加えたいことがあります．

例えば、関数 f(x,y) をマクローリン展開しよう、というときに 説明なしで突然 h や k （もとの変数が x, y なのに！） の式を書き始めたら 「ん？ 何を始めたのかな？」と思って／思われてしまう、 と思います．

例： e^x sin y の (1, π/2) でのテーラー展開
　【山田が "普通これだ" と思う表示 】式の形をみればどこで展開したか明らか．

　【教科書のみで勉強した学生が答えそうな表示 】
左辺 "e^1+h sin (π/2 + k) = " をきちんと書いて、計算に間違いがなければ「変わった人だな」と思うくらいでしょうけど...
原稿の中の問題点の指摘は 2001年に数学演習第二を 一緒に担当した 伊東裕也先生 と 石田晴久先生 に 受けました.

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5. 「変換行列」に関する山田の考え

（線形代数学 第２）　Up↑

教科書（当時）の定義と演習書の定義が違い, 先生方の間でもおそらく意見が 違ってくるこの問題の扱いについて山田の意見を述べます.
論点：　線型空間 V に２組の 基底 B と B' をとるとき、両者の関係を 行列を使って記述するもの
　　　「B から B' への変換行列」とは何か？ （人によっては逆行列になる？ 転置行列になる人も？）

山田の考えのポイント　 2005.06.16 更新（基本部分 は 2000年頃から変化していません）

 (1) 「 B から B' への」の部分を逆に述べる流儀がある という扱いは表面的ではないか.
 (2) 「基底変換行列」と「座標変換行列」という別々の概念があって, 数学的には両方とも重要.
 (3) 両者は紛らわしいので、区別して理解する必要がある.
 (4) 「変換行列」という（基底変換か座標変換か明示しない）表現は誤解を招く.
 (5) 「一方『基底変換行列』だけを扱い, 変換行列といえば『基底変換行列』のこと という指導でどうでしょうか？」にも反対.
 (6) 両者は無関係ではない. 特に、次の事実には（知識としても）価値がある.


[事実] 「基底 B' から B への取換えに伴う座標変換行列」は「基底 B から B' への基底変換行列」に等しい.

　以下は, より山田の偏見に近い部分の意見

（補１）「座標」（点の位置 や 集合の元 を　数　を使って表す）という発想と, 座標が２つあれば
　　　　一方から他方への言い換えが生じる, そういう基礎的な発想が重要. 
（補２）「基底変換」は 線形代数 にとっての重要概念である. 
（補３）抽象的な線形空間 V を想定している場合, 上の [事実] を示すのに
　　　　V^n（Vの元を成分にもつ n 項ベクトル）における等式（表記法）を使うのは便利で良いのだが,
　　　「行列の積の成分計算を応用する」,「厳密ではないが便利だから使う」と説得して使う必要がある.
　　　＊ 等号（の両辺）が属す集合の確認は 数学の基礎事項で, 常に気を配る習慣にすると良い.

　　　例：２つの基底 B:= ＜v1, v2, ... ,vn＞, B':= ＜v'1, v'2, ... ,v'n＞ に対して, 
　　　　　P が BからB'への基底変換行列であるとは, 　(v'1, v'2, ... ,v'n) = (v1, v2, ... ,vn) P　ということである.
　　　　　このとき c' を縦ベクトルとすると　(v'1, v'2, ... ,v'n) c' = (v1, v2, ... ,vn) P c'　となるから... 
　　　　　というふうに, 上の[事実]が 一応 説明できるわけだが.

（補４）山田は「基底変換行列」を習った記憶が 実はない. 
 　　　「座標変換行列」の方はいつ、どの教室で、誰にどう習ったかまでよく覚えている. それは感動があったから.
 　　　　　そうか人類は, Rn と行列の計算を理解した時点で, 今後どんな 未知 の集合も, 線形性 を持つ限り 
 　　　　　既知のものRn（実数を n 個並べた集合）と同一視して扱っていく, というわけか.

最後に：ここに書いたことは「どう教えるべきか」というより「どう学びたかったか」に近いです。

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作成：山田裕一