大学院：幾何学特論
（金曜５限）
担当：山田裕一（東１号館 507） yyyamadaアットe-one.uec.ac.jp
【履修者への連絡事項】 Feb. 21 記
講義を終了しました． 率直に言って、最後まで楽しい講義でした．ありがとうございました．
【授業内容】 ほぼ シラバス の通り （位相幾何学，微分幾何学，数理物理の話題などから）ですが，
リーマン計量の話を軸として，それ以外の部分は 履修者の興味によって路線を毎年変更していこうと考えています．
授業の進行
| 月日 | 初期 | 11/4 | 11/11 | 11/18 | 11/25 | 12/2 | 12/9 | 12/16 | 12/23 | 12/30 | 1/6 | 1/13 | 1/20 | 1/27 | 2/3 | 2/10 | 補講？ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| No. | ５回 | 第６回 | 第７回 | 第８回 | 行事休 | 第９回 | 第10回 | 第11回 | 祝休日 | 冬休み | 第12回 | 行事休 | 休 講 | 第13回 | 第14回 | 休 講 | ？ |
| 大学院 幾何学 |
２種類の変換行列 |
線積分とグリーンの定理 |
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双対空間・１次微分形式 |
ベクトル場のブラケット |
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座標変換 |
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内積の理論 |
リーマン計量 |
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測地線 |
写像の微分・球面の等角投影 |
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上半平面の双曲幾何：曲率 |
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相対性理論 |
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授業に入る前に，数学科目の説明, この科目の内容と成績について説明.
- 地球 と 世界地図 ⇔ 曲面から平面への連続写像
- 相対性理論：時空（アキレスと亀）
- 幾何学でのベクトル：始点も重要. 平行移動してはいけない．偏微分 の記号を使って表す.
- 「ベクトルに関数を"代入"」=「その方向へのその位置での偏微分係数」
- [P] ベクトルの座標変換（その２） → プロジェクタ原稿
- １次微分形式の座標変換
- １次微分形式へのベクトルの代入：座標が変わっても 得られる値は変わらない
- 相対性理論：運動する物体の時間の遅れ
- [A3]（抽象的な）内積 の復習 → プロジェクタ原稿
- [B7] 内積から計量へ："内積行列" が始点によって変化する！
- 相対性理論：固有時間
- 相対性理論：ローレンツ収縮． 問題：列車は川に落ちるのか？
- 計量を利用した 曲線の長さ
- [B7] 測地線 → プロジェクタ原稿
- [B8] 非ユークリッド幾何（双曲幾何の上半平面 モデル）
- 相対性理論：ローレンツ収縮（解答編）
- 相対性理論：速さの和公式 tanh の和公式に似ている
- [E3,4] 相対性理論：等加速度の場合（その１：静止観測者から）
- [E3,4] 相対性理論：等加速度の場合（その２：運動者から）
- 地図 (map) では計量も 引き戻さなければならない
- [B10] 球面の等角投影
- [B11] 曲線の曲率、曲面の曲率
- [E5] 相対性理論：加速度の時空，光の軌跡
- [E5] 相対性理論：加速度の時空は計量が歪んだだけ
- [C1] レヴィチビタの接続：その計量の性質を反映する接続
- [C1] クリストッフェルの記号
- [E6] 相対性理論：双子のパラドックス（Ｏから見て）
- [C2] 測地線の方程式
- [C2] 曲線に沿うベクトルの平行移動
- [E6] 相対性理論：双子のパラドックス（Ａから見て）
- 相対性理論：重力の時空
- [C3] ガウスボンネの公式
- 相対性理論：エネルギー 測地線ならば一定
- 相対性理論：重力の時空
授業に入る前に，数学科目の説明, この科目の内容と成績について説明.
- 地球 と 世界地図 ⇔ 曲面から平面への連続写像
- 相対性理論：時空（アキレスと亀）
- 幾何学でのベクトル：始点も重要. 平行移動してはいけない．偏微分 の記号を使って表す.
- 「ベクトルに関数を"代入"」=「その方向へのその位置での偏微分係数」
- 線形代数学からの復習： 基底変換行列 と 座標変換行列 → プロジェクタ原稿
- 相対性理論：審判 と アキレス の間の変換行列
- 相対性理論：等加速度の場合（その１：静止観測者から）
- 相対性理論：等加速度の場合（その２：運動者から）
- レヴィチビタの接続：その計量の性質を反映する接続
- クリストッフェルの記号
- 相対性理論：双子のパラドックス
- 測地線の方程式
- 曲線に沿うベクトルの平行移動
- 相対性理論：加速度の時空は計量が歪んだだけ
- 曲線の曲率、曲面の曲率
- 相対性理論：エネルギー
- 相対性理論：重力の時空
第１４回
以降
以降
- ガウスボンネの定理「曲面上での曲率の積分は...」
- 相対性理論：一般相対性理論
- 相対性理論：重力とブラックホール
この科目特有の「１月末のガッカリ」
金曜午後なので、センター試験の準備日（１月中旬）が休講になる．その翌週、 授業はクライマックスなのに出席率が急減する． １月末には、修士２年生は修論発表で、修士１年生は就活などで、忙しくなるのもわかる． 授業を少し前倒しにするような工夫をしたい と常々考えている．
作成：山田裕一