電気通信大学 2019年度 後学期

　大学院：幾何学特論　
（金曜５限）

担当：山田裕一（東１号館 507）　 yyyamadaアットe-one.uec.ac.jp

【履修者への連絡事項】　3月9日 記

講義を終了しました．

【授業内容】　ほぼ シラバス の通り （位相幾何学，微分幾何学，数理物理の話題などから）ですが，
リーマン計量の話を軸として，それ以外の部分は 履修者の興味によって路線を毎年変更していこうと考えています．

授業の進行

月日 10/410/1110/1810/24木10/25 11/111/811/1511/22 11/2912/6
No. 第１回 第２回 第３回 補　講 第５回 第６回 第７回 第８回 行事休 休　講 第９回

月日 12/1312/20 12/27 1/31/10 1/171/241/312/7 補講？
No. 第10回 第11回 冬休み 冬休み 第12回 行事休 第13回 第14回 第15回 ？

大学院
　幾何学		 ２種類の変換行列 線積分とグリーンの定理
双対空間・１次微分形式 ベクトル場のブラケット
座標変換 内積の理論・内積から計量へ
測地線 写像の微分・球面の等角投影
上半平面の双曲幾何：曲率 　
相対性理論 　
・随時更新します　・プリンタの機能で「１枚に複数ページ印刷」すると良いと思います．
第１回
授業に入る前に，数学科目の説明, この科目の内容と成績について説明.
  • 地球 と 世界地図　⇔　曲面から平面への連続写像
  • 相対性理論：時空（アキレスと亀）
  • 幾何学でのベクトル：始点も重要. 平行移動してはいけない．偏微分 の記号を使って表す.
  • 「ベクトルに関数を"代入"」=「その方向へのその位置での偏微分係数」
第２回
  • [A1] 線形代数学からの復習： 基底変換行列 と 座標変換行列　→ プロジェクタ原稿
  • [E1] 相対性理論：審判 と アキレス の間の変換行列
  • 相対性理論：アキレスが観測する亀の速さ
第３回
  • [B3] ベクトルの座標変換
  • [B4] 双対空間から１次微分形式へ　→ プロジェクタ原稿
  • 相対性理論：ローレンツ収縮．　問題：列車は川に落ちるのか？
第４回
　補講　： 主に「応用幾何学」（現在は「幾何学概論」）の内容から
第５回

　Up↑
  • [B3] ベクトルの座標変換（その２）　→ プロジェクタ原稿
  • １次微分形式の座標変換
  • １次微分形式へのベクトルの代入：座標が変わっても 得られる値は変わらない
  • 相対性理論：ローレンツ収縮（解答編），運動する物体の時間の遅れ
第６回
  • [A3]（抽象的な）内積 の復習　→ プロジェクタ原稿
  • [B10] 内積から計量へ："内積行列" が始点によって変化する！
  • 相対性理論：固有時間，速さの和公式　tanh の和公式に似ている
第７回
  • 計量を利用した 曲線の長さ
  • [B10] 測地線　→ プロジェクタ原稿
  • [B12] 非ユークリッド幾何（双曲幾何の上半平面 モデル）
第８回
  • [E3,4] 相対性理論：等加速度の場合（その１：静止観測者から）
  • [E3,4] 相対性理論：等加速度の場合（その２：運動者から）
第９回
  • [B9] 写像の微分：写像がベクトルを運ぶ　→ プロジェクタ原稿
  • 写像による コベクトルの引戻し．計量も引き戻せる．
  • [B10] 球面の等角投影
  • [E5] 相対性理論：加速度の時空，光の軌跡
第１０回

　Up↑
  • [B13] 曲線の曲率、曲面の曲率
  • [E5] 相対性理論：加速度の時空（計算して実感）
  • [E5] 相対性理論：双曲線の性質を利用した考察
第１１回
  • [B7,8] 多様体：座標で覆われる図形
  • [C1] 接続
  • [E5] 相対性理論：加速度の時空は計量が歪んだだけ
第１２回
  • [C1] レヴィチビタの接続：その計量の性質を反映する接続
  • [C1] クリストッフェルの記号
  • [C2] 測地線の方程式
  • [C2] 曲線に沿うベクトルの平行移動
  • [E6] 相対性理論：双子のパラドックス
第１３回
以降
  • [C1] 接続と測地線（計算実感編）上半平面モデル
  • [C3] 曲率：計量から計算できるはず
  • リッチ曲率、スカラー曲率
  • 相対性理論：重力の時空
  • 相対性理論：等加速度の時空の測地線（計算実感編）、曲率

↓ 2018年度の記録 ↓　　2019年度からＢ冊子が改訂します

第１回
授業に入る前に，数学科目の説明, この科目の内容と成績について説明.
  • 地球 と 世界地図　⇔　曲面から平面への連続写像
  • 相対性理論：時空（アキレスと亀）
  • 幾何学でのベクトル：始点も重要. 平行移動してはいけない．偏微分 の記号を使って表す.
  • 「ベクトルに関数を"代入"」=「その方向へのその位置での偏微分係数」
第２回
  • [A2] 線形代数学からの復習： 基底変換行列 と 座標変換行列　→ プロジェクタ原稿
  • [E1] 相対性理論：審判 と アキレス の間の変換行列
  • [B1] ベクトル場　→ プロジェクタ原稿
  • 相対性理論：アキレスが観測する亀の速さ
第３回
第４回
  • [P] ベクトルの座標変換
  • [B3] 双対空間から１次微分形式へ　→ プロジェクタ原稿
  • １次微分形式の座標変換
  • 相対性理論：ローレンツ収縮．　問題：列車は川に落ちるのか？
第５回

　Up↑
  • [P] ベクトルの座標変換（その２）　→ プロジェクタ原稿
  • １次微分形式の座標変換
  • １次微分形式へのベクトルの代入：座標が変わっても 得られる値は変わらない
  • 相対性理論：ローレンツ収縮（解答編）
  • 相対性理論：固有時間
第６回
臨時会議のため、６０分授業となりました（2018）．
  • [A3]（抽象的な）内積 の復習　→ プロジェクタ原稿
  • [B7] 内積から計量へ："内積行列" が始点によって変化する！
  • 相対性理論：速さの和公式　tanh の和公式に似ている
第７回
  • 計量を利用した 曲線の長さ
  • [B7] 測地線　→ プロジェクタ原稿
  • [B8] 非ユークリッド幾何（双曲幾何の上半平面 モデル）
第８回
  • [E3,4] 相対性理論：等加速度の場合（その１：静止観測者から）
  • [E3,4] 相対性理論：等加速度の場合（その２：運動者から）
  • [E5] 相対性理論：加速度の時空，光の軌跡
第９回
  • [B9] 写像の微分：写像がベクトルを運ぶ　→ プロジェクタ原稿
  • [B10] 写像による コベクトルの引戻し
  • [B10] 球面の等角投影
  • [B5,6] 多様体：座標で覆われる図形
  • 相対性理論：双曲線の性質を利用した考察
第１０回

　Up↑
  • 地図 (map) では 計量 も引き戻さなければならない
  • 計量の引き戻し：計算実践（復習）
  • [E5] 相対性理論：加速度の時空は計量が歪んだだけ
第１１回
  • [B11] 曲線の曲率、曲面の曲率
  • [C1] 接続
  • [C1] レヴィチビタの接続：その計量の性質を反映する接続
第１２回
  • [C1] 接続、クリストッフェルの記号
  • [C2] 測地線の方程式
  • [C2] 曲線に沿うベクトルの平行移動
  • [E6] 相対性理論：その他の測地線．等加速度と呼ぶ理由
第１３回以降
  • [C3] 曲率：計量から計算できるはず
  • リッチ曲率、スカラー曲率　→ プロジェクタ原稿
  • [E6] 相対性理論：双子のパラドックス（Ａから見て）
  • [E6] 相対性理論：双子のパラドックス（Ｏから見て）
  • 相対性理論：重力の時空
  • 相対性理論：等加速度の時空の測地線、曲率

この科目特有の「１月末のガッカリ」

数年間、金曜午後の開講だった．そのためセンター試験の準備日（１月中旬）が休講になる．その翌週、 授業はクライマックスなのに出席率が急減する． １月末には、修士２年生は修論発表で、修士１年生は就活などで、忙しくなるのもわかる． 授業を少し前倒しにするような工夫をしたい と常々考えている．

作成：山田裕一